тіла обертання

1. Обертання навколо осі x [ правити | правити код ]
2. Обертання навколо осі y [ правити | правити код ]
3. Теорема Гульдін [ правити | правити код ]

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Тіла обертання - об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої геометричної фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині [1] .

• куля - утворений півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
• циліндр - утворений прямокутником, що обертається навколо однієї зі сторін

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа його розгортки:

S b o k = 2 π r h {\ displaystyle S_ {bok} = 2 \ pi rh} .

• конус - утворенийпрямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів

За площу бічної поверхні конуса приймається площа його розгортки:

S b o k = π r l {\ displaystyle S_ {bok} = \ pi rl} .

Площа повної поверхні конуса:

S p o l n = π r (r + l) {\ displaystyle S_ {poln} = \ pi r (r + l)} .

• Тор - утворений колом, обертається навколо прямої, що не перетинає його [2]

При обертанні контурів фігур виникає поверхню обертання (наприклад, сфера , утворена окружністю ), В той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворений кругом ).

Обертання навколо осі x [ правити | правити код ]

Обсяг тіла, утвореного обертанням навколо осі x {\ displaystyle x} фігури, обмеженою функцією f (x) {\ displaystyle f (x)} на інтервалі [a; b] {\ displaystyle [a; b]} , Віссю x {\ displaystyle x} і прямими x = a {\ displaystyle x = a} і x = b {\ displaystyle x = b} , Дорівнює:

V x = π ∫ a b f 2 (x) d x {\ displaystyle V_ {x} = \ pi \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) dx}

Обертання навколо осі y [ правити | правити код ]

Обсяг тіла, утвореного обертанням навколо осі y {\ displaystyle y} фігури, обмеженою функцією f (x) {\ displaystyle f (x)} на інтервалі [a; b] {\ displaystyle [a; b]} , Віссю y {\ displaystyle y} і прямими y = a {\ displaystyle y = a} і y = b {\ displaystyle y = b} , Дорівнює:

V y = 2 π ∫ x 1 x 2 x f (x) d x {\ displaystyle V_ {y} = 2 \ pi \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} xf (x) dx}

Альтернативні формули обчислення V y {\ displaystyle V_ {y}} :

V y = π ∫ y 1 y 2 d y f 2 (y) = π ∫ x 1 x 2 x 2 f '(x) d x. {\ Displaystyle V_ {y} = \ pi \ int _ {y_ {1}} ^ {y_ {2}} {\ frac {dy} {f ^ {2} (y)}} = \ pi \ int _ { x_ {1}} ^ {x_ {2}} x ^ {2} f '(x) dx.}

Теорема Гульдін [ правити | правити код ]

Обсяг і площа поверхні тіл обертання можна також дізнатися за допомогою теорем Гульдін-Паппа , Які пов'язують площа або об'єм з центром мас фігури.

• Перша теорема Гульдін-Паппа говорить:

Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії на довжину окружності, пробегаемой центром мас цієї лінії.

• Друга теорема Гульдін-Паппа говорить:

Обсяг тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі фігури на довжину окружності, пробегаемой центром мас цієї фігури.

А. В. Погорєлов. «Геометрія. 10-11 клас »§ 21.Тела обертання. - 2011

1. ↑ А. В. Погорєлов. §21. Тіла обертання // Геометрія. 10-11 клас. - 2011 року.
2. ↑ Математика. Енциклопедія для дітей том 11й ISBN 5-94623-072-7