» Строительство »

5.3. конічні перетину

  1. Головна онлайн підручники База репетиторів Росії Тренажери з математики Підготовка до ЄДІ 2017 онлайн

Головна онлайн підручники База репетиторів Росії Тренажери з математики Підготовка до ЄДІ 2017 онлайн



Глава 5. Тіла обертання

5.3. конічні перетину

Визначення 5.4.

Конічні перетину - плоскі криві, які виходять перетином прямого кругового конуса площиною.

За винятком вироджених випадків, конічними перетинами є еліпси, гіперболи або параболи. З точки зору аналітичної геометрії конічний перетин являє собою геометричне місце точок, що задовольняють рівняння другого порядку.

Відкривачем конічних перетинів може бути вважається Менехм (IV ст. До н. Е.). Менехм використовував параболу і равнобочной гіперболу для вирішення завдання про подвоєння куба.

Трактати про конічних перетинах, написані Арістеєм і Евклидом в кінці IV ст. до н. е., були загублені, але матеріали з них увійшли в знамениті «Конічні перетини» Аполлонія Пергського , Які збереглися до нашого часу. Аполлоній, варіюючи кут нахилу січної площини, отримав всі конічні перетину з одного кругового конуса, прямого або похилого. Аполлонию ми зобов'язані і сучасними назвами кривих - еліпс, парабола і гіпербола.

У своїх побудовах Аполлоній використовував двуполостной круговий конус, тому вперше стало ясно, що гіпербола - крива з двома гілками. З часів Аполлонія конічні перетину діляться на три типи залежно від нахилу січної площини до котра утворює конуса. Еліпс утворюється, коли січна площина перетинає всі твірні конуса в точках одного його порожнини; парабола - коли січна площина паралельна одній з дотичних площин конуса; гіпербола - коли січна площина перетинає обидві порожнини конуса.

1

малюнок 5.3.1

Вивчаючи конічні перетину як перетину площин і конусів, давньогрецькі математики розглядали їх і як траєкторії точок на площині.

Еліпс можна визначити як геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок постійна; параболу - як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки і заданої прямої; гіперболу - як геометричне місце точок, різниця відстаней від яких до двох заданих точок постійна.

Ці визначення конічних перетинів як плоских кривих підказують і спосіб їх побудови за допомогою натягнутої нитки.

Еліпс. Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені в точках F1 і F2 (рис. 5.3.2), то крива, описувана вістрям олівця, що ковзає по туго натягнутій нитки, має форму еліпса. Точки F1 і F2 називаються фокусами еліпса, а відрізки V1 V2 і v1 v2 між точками перетину еліпса з осями координат - великої і малої осями. Якщо точки F1 і F2 збігаються, то еліпс перетворюється в коло.

2

малюнок 5.3.2

Гіпербола. При побудові гіперболи точка P, вістрі олівця, фіксується на нитки, яка вільно ковзає по шпенькам, встановленим в точках F1 і F2, як показано на малюнку 5.3.3, а. Відстані підібрані так, що відрізок PF 2 перевершує по довжині відрізок PF 1 на фіксовану величину, меншу відстані F1 F2. При цьому один кінець нитки проходить під шпеньком F1 і обидва кінці нитки проходять поверх шпенька F2. (Вістря олівця не повинно ковзати по нитці, тому його потрібно закріпити, зробивши на нитки маленьку петлю і протягнувши в неї вістря.) Одну гілку гіперболи (PV 1 Q) ми вичерчуємо, стежачи за тим, щоб нитка залишалася весь час натягнутою, і потягуючи обидва кінці нитки вниз за точку F2, а коли точка P виявиться нижче відрізка F1 F2, притримуючи нитку за обидва кінці і обережно відпускаючи її. Другу гілку гіперболи ми вичерчуємо, попередньо помінявши шпенькі F1 і F2.

3

малюнок 5.3.3

Гілки гіперболи наближаються до двох прямим, що перетинаються між гілками. Ці прямі, звані асимптотами гіперболи, будуються як показано на малюнку 5.3.3, б. Кутові коефіцієнти цих прямих рівні де - відрізок бісектриси кута між асимптотами, перпендикулярної відрізку F2 F1; відрізок v1 v2 називається сполученої віссю гіперболи, а відрізок V1 V2 - її поперечною віссю. Таким чином, асимптоти є діагоналями прямокутника зі сторонами, що проходять через чотири точки v1, v2, V1, V2 паралельно осях. Щоб побудувати цей прямокутник, необхідно вказати місце розташування точок v1 і v2. Вони знаходяться на однаковій відстані, рівному

від точки перетину осей O. Ця формула передбачає побудову прямокутного трикутника з катетами Ov 1 і V2 O і гіпотенузою F2 O.

Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, то гіпербола називається равнобочной. Дві гіперболи, що мають спільні асимптоти, але з переставленими поперечної і сполученої осями, називаються взаємно сполученими.

Парабола. Фокуси еліпса і гіперболи були відомі ще Аполлонию, але фокус параболи, мабуть, вперше встановив Папп (друга пол. III ст.), Який визначив цю криву як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокуса) і заданої прямої, яка називається директоркою. Побудова параболи з допомогою натягнутої нитки, засноване на визначенні Паппа, було запропоновано Исидором Милетским (VI ст.).

4

малюнок 5.3.4

Розташуємо лінійку так, щоб її край збігся з директоркою (Рис. 5.3.4), і докладемо до цього краю катет AC креслярського трикутника ABC. Закріпимо один кінець нитки довжиною AB в вершині B трикутника, а інший - в фокусі параболи F. Натягнувши вістрям олівця нитка, пригорнемо вістря в змінної точці P до вільного катету AB креслярського трикутника. У міру того, як трикутник буде переміщатися уздовж лінійки, точка P буде описувати дугу параболи з фокусом F і директоркою так як загальна довжина нитки дорівнює AB, відрізок нитки прилягає до вільного катету трикутника, і тому залишився відрізок нитки PF має дорівнювати решти катета AB, тобто PA. Точка перетину V параболи з віссю називається вершиною параболи, пряма, що проходить через F і V, - віссю параболи. Якщо через фокус провести пряму, перпендикулярну осі, то відрізок цієї прямої, що відсікається параболою, називається фокальним параметром. Для еліпса і гіперболи фокальний параметр визначається аналогічно.

Зауважимо, що існують і вироджені випадки конічних перетинів. Вони з'являються в тих випадках, коли січна площина проходить через вершину конуса. Якщо нахил площини до осі конуса більше, ніж нахил утворює до осі, то перетином є точка - вершина конуса. Якщо ці кути збігаються, тобто січна площина стосується конуса, то конічним перетином буде одна пряма. Нарешті, в разі, коли кут нахилу січної площини менше, вона перетинає конус по двом прямим.

5

малюнок 5.3.5

Посетители рекомендуют:
Полезно знать:
Современные строительные технологии Геология, города и строительство © Все права сохранены.