Головна онлайн підручники База репетиторів Росії Тренажери з математики Підготовка до ЄДІ 2017 онлайн
Глава 5. Тіла обертання
5.3. конічні перетину
Визначення 5.4.Конічні перетину - плоскі криві, які виходять перетином прямого кругового конуса площиною.
Відкривачем конічних перетинів може бути вважається Менехм (IV ст. До н. Е.). Менехм використовував параболу і равнобочной гіперболу для вирішення завдання про подвоєння куба.
Трактати про конічних перетинах, написані Арістеєм і Евклидом в кінці IV ст. до н. е., були загублені, але матеріали з них увійшли в знамениті «Конічні перетини» Аполлонія Пергського , Які збереглися до нашого часу. Аполлоній, варіюючи кут нахилу січної площини, отримав всі конічні перетину з одного кругового конуса, прямого або похилого. Аполлонию ми зобов'язані і сучасними назвами кривих - еліпс, парабола і гіпербола.
У своїх побудовах Аполлоній використовував двуполостной круговий конус, тому вперше стало ясно, що гіпербола - крива з двома гілками. З часів Аполлонія конічні перетину діляться на три типи залежно від нахилу січної площини до котра утворює конуса. Еліпс утворюється, коли січна площина перетинає всі твірні конуса в точках одного його порожнини; парабола - коли січна площина паралельна одній з дотичних площин конуса; гіпербола - коли січна площина перетинає обидві порожнини конуса.
1
малюнок 5.3.1Вивчаючи конічні перетину як перетину площин і конусів, давньогрецькі математики розглядали їх і як траєкторії точок на площині.
Еліпс можна визначити як геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок постійна; параболу - як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки і заданої прямої; гіперболу - як геометричне місце точок, різниця відстаней від яких до двох заданих точок постійна.
Ці визначення конічних перетинів як плоских кривих підказують і спосіб їх побудови за допомогою натягнутої нитки.
Еліпс. Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені в точках F1 і F2 (рис. 5.3.2), то крива, описувана вістрям олівця, що ковзає по туго натягнутій нитки, має форму еліпса. Точки F1 і F2 називаються фокусами еліпса, а відрізки V1 V2 і v1 v2 між точками перетину еліпса з осями координат - великої і малої осями. Якщо точки F1 і F2 збігаються, то еліпс перетворюється в коло.
2
малюнок 5.3.2 Гіпербола. При побудові гіперболи точка P, вістрі олівця, фіксується на нитки, яка вільно ковзає по шпенькам, встановленим в точках F1 і F2, як показано на малюнку 5.3.3, а. Відстані підібрані так, що відрізок PF 2 перевершує по довжині відрізок PF 1 на фіксовану величину, меншу відстані F1 F2. При цьому один кінець нитки проходить під шпеньком F1 і обидва кінці нитки проходять поверх шпенька F2. (Вістря олівця не повинно ковзати по нитці, тому його потрібно закріпити, зробивши на нитки маленьку петлю і протягнувши в неї вістря.) Одну гілку гіперболи (PV 1 Q) ми вичерчуємо, стежачи за тим, щоб нитка залишалася весь час натягнутою, і потягуючи обидва кінці нитки вниз за точку F2, а коли точка P виявиться нижче відрізка F1 F2, притримуючи нитку за обидва кінці і обережно відпускаючи її. Другу гілку гіперболи 
ми вичерчуємо, попередньо помінявши шпенькі F1 і F2.
3
малюнок 5.3.3 Гілки гіперболи наближаються до двох прямим, що перетинаються між гілками. Ці прямі, звані асимптотами гіперболи, будуються як показано на малюнку 5.3.3, б. Кутові коефіцієнти цих прямих рівні 
де 
- відрізок бісектриси кута між асимптотами, перпендикулярної відрізку F2 F1; відрізок v1 v2 називається сполученої віссю гіперболи, а відрізок V1 V2 - її поперечною віссю. Таким чином, асимптоти є діагоналями прямокутника зі сторонами, що проходять через чотири точки v1, v2, V1, V2 паралельно осях. Щоб побудувати цей прямокутник, необхідно вказати місце розташування точок v1 і v2. Вони знаходяться на однаковій відстані, рівному
Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, то гіпербола називається равнобочной. Дві гіперболи, що мають спільні асимптоти, але з переставленими поперечної і сполученої осями, називаються взаємно сполученими.
Парабола. Фокуси еліпса і гіперболи були відомі ще Аполлонию, але фокус параболи, мабуть, вперше встановив Папп (друга пол. III ст.), Який визначив цю криву як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокуса) і заданої прямої, яка називається директоркою. Побудова параболи з допомогою натягнутої нитки, засноване на визначенні Паппа, було запропоновано Исидором Милетским (VI ст.).
4
малюнок 5.3.4 Розташуємо лінійку так, щоб її край збігся з директоркою 
(Рис. 5.3.4), і докладемо до цього краю катет AC креслярського трикутника ABC. Закріпимо один кінець нитки довжиною AB в вершині B трикутника, а інший - в фокусі параболи F. Натягнувши вістрям олівця нитка, пригорнемо вістря в змінної точці P до вільного катету AB креслярського трикутника. У міру того, як трикутник буде переміщатися уздовж лінійки, точка P буде описувати дугу параболи з фокусом F і директоркою 
так як загальна довжина нитки дорівнює AB, відрізок нитки прилягає до вільного катету трикутника, і тому залишився відрізок нитки PF має дорівнювати решти катета AB, тобто PA. Точка перетину V параболи з віссю називається вершиною параболи, пряма, що проходить через F і V, - віссю параболи. Якщо через фокус провести пряму, перпендикулярну осі, то відрізок цієї прямої, що відсікається параболою, називається фокальним параметром. Для еліпса і гіперболи фокальний параметр визначається аналогічно.
Зауважимо, що існують і вироджені випадки конічних перетинів. Вони з'являються в тих випадках, коли січна площина проходить через вершину конуса. Якщо нахил площини до осі конуса більше, ніж нахил утворює до осі, то перетином є точка - вершина конуса. Якщо ці кути збігаються, тобто січна площина стосується конуса, то конічним перетином буде одна пряма. Нарешті, в разі, коли кут нахилу січної площини менше, вона перетинає конус по двом прямим.
5
малюнок 5.3.5
